Présentation du projet Microlocal

Le projet Microlocal provient de la découverte faite il y a quelques années par Tamarkin d’applications frappantes et inattendues de la théorie microlocale des faisceaux à la géométrie symplectique. Durant les trois dernières décennies, la géométrie symplectique s'est révélée liée à d'autres domaines des mathématiques et à des sujets complexes de physique théorique. Les fonctions génératrices, la théorie des courbes pseudo-holomorphes et la théorie de Floer sont à l'interface avec la théorie des systèmes dynamiques, la géométrie algébrique, la théorie de jauge et la théorie de la symétrie miroir. La théorie microlocale des faisceaux entretient des relations similaires avec la géométrie symplectique. Celles-ci devraient être le centre d’intenses activités de recherche durant les prochaines années. La théorie microlocale des faisceaux offre d’ores et déjà une approche radicalement différente des phénomènes de rigidité. Elle donne des preuves originales de certaines conjectures d’Arnold qui ont été à l’origine du développement récent de la géométrie symplectique. L'objectif de ce projet est de donner aux mathématiciens français concernés, la possibilité de jouer un rôle moteur dans ce domaine.

La théorie microlocale des faisceaux, introduite par Kashiwara et Schapira, associe à un faisceau sur une variété, son microsupport qui est un ensemble conique du cotangent (où conique signifie qu’en dehors de la section nulle, c’est un cône sur un sous-ensemble du fibré cotangent unitaire). D'après le théorème d’involutivité de Kashiwara-Schapira, le microsupport est un ensemble coisotrope pour la structure symplectique canonique du cotangent. La théorie microlocale des faisceaux intervient d’ores et déjà dans plusieurs domaines, notamment concernant l’étude des systèmes d’équations différentielles linéaires, la théorie des représentations et l’étude des singularités. Kashiwara et Schapira ont aussi étudié durant plusieurs années ses applications à la quantification par déformation des variétés complexes symplectiques ou de Poisson. La découverte centrale de Tamarkin est que, dans nombre de cas intéressants, une variété lagrangienne donnée peut être réalisée comme microsupport d’un faisceau (appelé quantification). Les propriétés homologiques de ce faisceau expliquent, d'après lui, la forte rigidité géométrique de la variété. Cette découverte a été confirmée et généralisée par Guillermou, Kashiwara et Schapira. La théorie microlocale des faisceaux s'inscrit alors comme pont entre la géométrie symplectique et l'algèbre. Enfin, l’analyse microlocale apparaît aussi récemment dans les travaux de Gayet et Welschinger sur la topologie des ensembles nodaux aléatoires des opérateurs pseudo-différentiels.

L'objectif principal des participants à ce projet est d’explorer les perspectives ouvertes par ces découvertes, d’analyser soigneusement la géométrie du support singulier et d’entreprendre l’étude systématique des applications de la théorie microlocale des faisceaux à la topologie symplectique. Trois domaines d’applications seront considérés: les espaces cotangents, les variétés symplectiques en général ainsi que les variétés symplectiques complexes. Les mathématiques mises en jeu ressortiront principalement de la géométrie dans le premier cas (avec quelques aspects probabilistes), de l'algèbre dans le deuxième et de l'analyse dans le troisième.